Question

15．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=AA₁=3，M是线段B₁D₁的中点．
（1）求证：BM∥平面D₁AC
（2）求B₁到平面D₁AC的距离．

Answer 1

分析 （1）连接BD，与AC相交于O，连接OD₁，则O是BD的中点，证明D₁MBO是平行四边形，可得D₁O∥MB，即可证明BM∥平面D₁AC
（2）利用三棱锥的体积公式求B₁到平面D₁AC的距离．

解答 （1）证明：连接BD，与AC相交于O，连接OD₁，则O是BD的中点，
∵M是线段B₁D₁的中点，
∴D₁M∥BO，D₁M=BO，
∴D₁MBO是平行四边形，
∴D₁O∥MB，
∵BM?平面D₁AC，D₁O?平面D₁AC
∴BM∥平面D₁AC；
（2）解：∵AB=4，AD=AA₁=3，
∴${V}_{{B}_{1}-{D}_{1}AC}$=4×3×3-$\frac{1}{3}×4×3×3$×$\frac{1}{2}$×3=18，
∵△D₁AC中，D₁A=3$\sqrt{2}$，D₁C=5=AC，
∴${S}_{△{D}_{1}AC}$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{25-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{41}}{2}$，
设B₁到平面D₁AC的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{41}}{2}h$=18，∴h=$\frac{36\sqrt{41}}{41}$．

点评 本题考查了线面平行的判定定理，考查点面的距离以及数形结合思想，是一道中档题．