Question

15．已知cos（$\frac{5π}{12}$+α）=$\frac{1}{3}$，且-π＜α＜-$\frac{π}{2}$，则sin（2α+$\frac{5π}{6}}$）=（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$
• B． $\frac{2}{9}$
• C． $-\frac{2}{9}$
• D． $-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin（2α+$\frac{5π}{6}}$）的值．

解答 解：∵cos（$\frac{5π}{12}$+α）=$\frac{1}{3}$，且-π＜α＜-$\frac{π}{2}$，∴$\frac{5π}{12}$+α∈（-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{12}$），∴sin（$\frac{5π}{12}$+α）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（\frac{5π}{12}+α）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则sin（2α+$\frac{5π}{6}}$）=2 sin（$\frac{5π}{12}$+α）cos （$\frac{5π}{12}$+α）=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．