Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于， 两点，其横坐标分别为， ，线段的中点的横坐标为，且， 恰为函数的零点，求证： .

Answer 1

【答案】（1）当时， 在内单调递增；当时， 在内单调递减，在， 内单调递增；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数的导函数可知， 又是的零点，代入相减化简得，对求导， .令，求得函数.不等式得证．

试题解析：（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时， 恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得，此时单调递减.

综上所述，当时， 在内单调递增；当时， 在内单调递减，在， 内单调递增.

（2）由（1）知， ，所以的两根， 即为方程的两根.因为，所以， ， .又因为， 为的零点，

所以， ，两式相减得，得.而，所以 .

令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，

即的最小值为.

所以.