在平面直角坐标系
中，点
到点
的距离比它到
轴的距离多1，记点的轨迹为
.
（1）求轨迹为的方程
（2）设斜率为
的直线
过定点
，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.
（1）
；（2）当
时直线与轨迹恰有一个公共点； 当
时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；当
时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.
解析试题分析：（1）设点
，根据条件列出等式
，在用两点间的距离公式表示
，化简整理即得；（2）在点的轨迹中，记
，
，设直线的方程为
，联立方程组
整理得
，分类讨论①
时；② 
；③ 
或
；④ 
，确定直线与轨迹的公共点的个数.
（1）设点，依题意，，即
，
整理的
，
所以点的轨迹的方程为.
（2）在点的轨迹中，记，，
依题意，设直线的方程为，
由方程组得 ①
当时，此时
，把代入轨迹的方程得
，
所以此时直线与轨迹恰有一个公共点
.
当
时，方程①的判别式为
②
设直线与
轴的交点为
，则由，令
，得
③
（ⅰ）若，由②③解得
或
.
即当时，直线与
没有公共点，与
有一个公共点，
故此时直线与轨迹恰有一个公共点.
（ⅱ）若或，由②③解得
或
，
即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.
当
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已知椭圆C：
（
）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线
上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当
最小时，求点T的坐标.
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（本小题满分13分）
如图，已知双曲线
的右焦点
,点
分别在
的两条渐近线上，轴，
∥
(
为坐标原点）.
（1）求双曲线的方程；
（2）过
上一点
的直线
与直线相交于点
，与直线
相交于点
，证明点
在
上移动时，
恒为定值，并求此定值.
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设椭圆
（
）的左、右焦点为
，右顶点为
，上顶点为
．已知
．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设
为椭圆上异于其顶点的一点，以线段
为直径的圆经过点
，经过原点
的直线
与该圆相切，求直线的斜率．
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如图，已知椭圆
的右焦点为
，点
是椭圆上任意一点，圆
是以
为直径的圆．
（1）若圆过原点
，求圆的方程；
（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程． 
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已知椭圆
的左右顶点分别为
，离心率
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点
为曲线
:
上任一点（点不同于
），直线
与直线
交于点
，
为线段
的中点，试判断直线
与曲线的位置关系，并证明你的结论．
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已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ，B两点．
(1)如图所示，若
，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．
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（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分6分．
已知椭圆
过点
，两焦点为
、
，
是坐标原点，不经过原点的直线
与椭圆交于两不同点
、
.
(1)求椭圆C的方程；
(2) 当
时，求
面积的最大值；
(3) 若直线
、
、
的斜率依次成等比数列，求直线
的斜率
.
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过点
，
，C、D在该椭圆上，直线CD过原点O，且在线段AB的右下侧．