Question

【题目】对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.

(1)证明：等差数列是“数列”；

(2)若数列既是“数列”，又是“数列”，证明： 是等差数列.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）因为是等差数列，设其公差为，则，只需证明，即可得到等差数列是“数列”；（2）数列既是“数列”，又是“数列”，可得， ，结合两式化为，其中，验证前四项也是等差数列即可得结论.

试题解析： (1)因为是等差数列，设其公差为，

则，从而，当时，

所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，

因此等差数列{an}是“P(3)数列”.

(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，

当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①

当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②

由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③

an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an).④

将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，

所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.

在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，

所以a2＝a3－d′，

在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，

所以a1＝a3－2d′，

所以数列{an}是等差数列.