Question

【题目】已知函数f(x)=x（e+1）

(I)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程；

(II)若函数g（x）=f（x）-ae-x，求函数g(x)在[1,2]上的最大值。

Answer 1

【答案】（1）y=2x（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式得切线方程，（2）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间相对位置关系确定函数单调性，最后根据单调性确定函数最大值取法.

试题解析：解:(I)依题意,f(x)=e+1+xe,故f(0)=e+1=2.

因为f(0)=0,故所求切线方程为y=2x;.

(Ⅱ)依题意,g(x)=(x-a+1)·e,令g(x)=0得x=a-1

所以当a-1≤1时,x∈[1,2]时,g(x)≥0恒成立,g(x)单调递增,g(x)最大值为g(2),.

当a-1≥2时,x∈[1,2]时,g(x)≤0恒成立,g(x)单调递减,g(x)最大值为g(1).

当1<a-1<2时,x∈[1,a-1)时,g(x)≤0,g(x)单调递减;

x∈(a-1,2)时,g(x)>0,g(x)单调递增.

当x∈[1,2]时,g(x)最大值为g(1)或g(2).

g（1）=（1-a）e，g（2）=（2-a）e，

g(1)-g(2)=(1-a)e-(2-a)e=(e-e)a-(2e-e).

∴当时,g(1)-g(2)≥0,g(x)max=g(1)=(1-a)e.

当a<=时,g(1)-g(2)<0,g(x)max=g(2)=(2-a)e