【题目】已知数列和
满足
,
,
,
.
(1)证明:是等比数列,
是等差数列;
(2)求和
的通项公式;
(3)令,求数列
的前
项和
的通项公式,并求数列
的最大值、最小值,并指出分别是第几项.
【答案】(1)证明见解析;(2),
;(3)当
为偶数时,
,当
为奇数时,
;
的最大值为第1项,最大值为1,最小值为第2项,最小值为
.
【解析】
(1)根据定义判断是等比数列,
是等差数列;
(2)由(1)求得和
的通项公式,解方程分别求得
和
的通项公式
(3)先求为偶数时的
,利用并项求和法求出
,再求
为奇数时的
,
利用递推式(
为偶数),再分析
的符号和单调性,求出
的最大
值和最小值.
解: (1)由题,
,相加得
得,故
是首项为
公比为
的等比数列;
又由,
,相减得
,
即,故
是首项为
公差为
的等比数列.
(2)由(1)得,
,联立解得
,
(3)由(2)得
当为偶数时,
当为奇数时,
,
时,
则当为奇数时,
.
综合得
则当为奇数时,
单调递增且
;
当为偶数时,
故单调递减,又
,即
,
则当为奇数时,
单调递减且
,当
为偶数时,
单调递增且
故的最大值为第1项,最大值为1,最小值为第2项,最小值为
.
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【题目】已知函数
(Ⅰ)若曲线与曲线
在它们的某个交点处具有公共切线,求
的值;
(Ⅱ)若存在实数使不等式
的解集为
,求实数
的取值范围
(Ⅲ)若方程有三个不同的解
,且它们可以构成等差数列,写出实数
的值(只需写出结果).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某生物兴趣小组对冬季昼夜温差与反季节新品种大豆发芽数之间的关系进行研究,他们分别记录了月
日至
月
日每天的昼夜温差与实验室每天
颗种子的发芽数,得到以下表格
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这组数据中选取
组数据,然后用剩下的
组数据求线性回归方程,再用被选取的
组数据进行检验.
(1) 求统计数据中发芽数的平均数与方差;
(2) 若选取的是月
日与
月
日的两组数据,请根据
月
日至
月
日的数据,求出发芽数
关于温差
的线性回归方程
,若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差不超过
,则认为得到的线性回归方程是可靠的,问得到的线性回归方程是否可靠? 附:线性回归方程
中斜率和截距最小二乘估法计算公式:
,
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若,试判断棱
上是否存在与点
不重合的点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为,
,
.
在
中求边AC的高线所在直线的一般方程;
求平行四边形ABCD的对角线BD的长度;
求平行四边形ABCD的面积.
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【题目】据统计,2017年国庆中秋假日期间,黔东南州共接待游客590.23万人次,实现旅游收入48.67亿元,同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定:若公司导游接待旅客,旅游年总收入不低于40(单位:百万元),则称为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:
分组 | |||||
频数 | 18 | 49 | 24 | 5 |
(Ⅰ)求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?
(Ⅱ)若导游的奖金(单位:万元),与其一年内旅游总收入
(单位:百万元)之间的关系为
,求甲公司导游的年平均奖金;
(Ⅲ)从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中,用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰,其中有两名导游代表旅游行业去参加座谈,求参加座谈的导游中有乙公司导游的概率.
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【题目】设函数.
(1)若函数是R上的单调函数,求实数a的取值范围;
(2)设a=,
(
,
),
是
的导函数.①若对任意的x>0,
>0,求证:存在
,使
<0;②若
,求证:
<
.
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