Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|（a∈R）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（2）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数y=f（x）为偶函数可知，

对任何x都有f（﹣x）=f（x），

得：（﹣x）2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|，

即|x+a|=|x﹣a|对任何x恒成立，

平方得：4ax=0对任何x恒成立，

而x不恒为0，则a=0；

（2）解：将不等式f（x﹣1）≤2f（x），

化为（x﹣1）2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|，

即 4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1（*）对任意x∈[0，+∞）恒成立，

1）当0≤x≤a 时，将不等式（*）可化为 x2+4x+1﹣2a≥0，

对0≤x≤a上恒成立，则g（x）=x2+4x+1﹣2a 在（0，a]为单调递增，

只需g（x）min=g（0）=1﹣2a≥0，得0＜a≤ ；

2）当 a＜x≤a+1时，将不等式（*）可化为x2﹣4x+1+6a≥0，

对a＜x≤a+1上恒成立，由（1）可知0＜a≤ ，

则h（x）=x2﹣4x+1+6a 在（a，a+1]为单调递减，

只需h（x）min=h（a+1）=a2+4a﹣2≥0 得：a≤﹣ ﹣2或a≥ ﹣2，

即： ﹣2≤a≤ ；

3）当 x＞a+1时，将不等式（*）可化为x2+2a﹣3≥0对x＞a+1恒成立

则t（x）=x2+2a﹣3 在（a+1，+∞） 为单调递增，

由（2）可知 ﹣2≤a≤ 都满足要求．

综上：实数的取值范围为： ﹣2≤a≤ ．

【解析】（1）由偶函数的定义，化简整理，由恒成立思想可得a=0；（2）将不等式f（x﹣1）≤2f（x），化为（x﹣1）2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|，即 4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1对任意x∈[0，+∞）恒成立，对x讨论：（1）当0≤x≤a时，（2）当a＜x≤a+1时，（3）当x＞a+1时，去掉绝对值，由二次函数的最值求法，可得最小值，解不等式即可得到a的范围．