【题目】已知点,点是圆上的任意一点,,线段的垂直平分线与直线交于点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)若直线与点的轨迹相切,且与圆相交于点和,求直线和三角形的面积.
【答案】(1) ;(2).
【解析】试题分析:(1)根据已知,由平面几何知识可得,所以E的轨迹是以点A,C为焦点的椭圆,从而可得轨迹方程;(2)由,
得,根据判别式为零可得直线斜率,从而可得直线方程,再利用点到直线距离公式与三角形面积公式可得结果.
试题解析:(1)由题意可知
E的轨迹是以点A,C为焦点的椭圆
所以椭圆的方程 .
(2)由,
得
又 与点的轨迹相切
即, 又,所以, 的方程
圆心C到的距离由垂径定理可知,
又原点O到直线的距离
.
【方法点晴】本题主要考查定义法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标,根据题意列出关于的等式即可;②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把分别用第三个变量表示,消去参数即可;④逆代法,将代入.本题(1)就是利用方法②求得的轨迹方程的.
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【题目】某畜牧站为了考查某种新型药物预防动物疾病的效果,利用小白鼠进行试验,得到如下丢失数据的列联表
患病 | 未患病 | 总计 | |
没服用药 | 20 | 30 | 50 |
服用药 | 50 | ||
总计 | 100 |
设从没服用药的小白鼠中任取两只,未患病的动物数为,从服用药物的小白鼠中任取两只,未患病的动物数为,得到如下比例关系:
(1)求出列联表中数据,,,的值
(2)是否有的把握认为药物有效?并说明理由
(参考公式:,当时,有的把握认为A与B有关;时,有的把握认为A与B有关.
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【题目】本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每年每次租时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为, ;两小时以上且不超过三小时还车的概率为, ;两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙都在三到四小时内还车的概率和甲、乙两人所付租车费相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望.
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【题目】如图,在圆柱中,A,B,C,D是底面圆的四等分点,O是圆心,A1A,B1B,C1C与底面ABCD垂直,底面圆的直径等于圆柱的高.
(Ⅰ)证明:BC⊥AB1;
(Ⅱ)(ⅰ)求二面角A1 - BB1 - D的大小;
(ⅱ)求异面直线AB1和BD所成角的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣2|x﹣a|(a∈R).
(1)若函数f(x)为偶函数,求a的值;
(2)当a>0时,若对任意的x∈[0,+∞),不等式f(x﹣1)≤2f(x)恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: .
(Ⅰ)求曲线C1和C2的直角坐标方程,并分别指出其曲线类型;
(Ⅱ)试判断:曲线C1和C2是否有公共点?如果有,说明公共点的个数;如果没有,请说明理由;
(Ⅲ)设是曲线C1上任意一点,请直接写出a + 2b的取值范围.
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【题目】共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100] 分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(Ⅰ) 求图中的值;
(Ⅱ) 已知满意度评分值在[90,100]内的男生数与女生数的比为2:1,若在满意度评分值为[90,100]的人中随机抽取2人进行座谈,求所抽取的两人中至少有一名女生的概率.
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【题目】为了调查“五一”小长假出游选择“有水的地方”是否与性别有关,现从该市“五一”出游旅客中随机抽取500人进行调查,得到如下2×2列联表:(单位:人)
选择“有水的地方” | 不选择“有水的地方” | 合计 | |
男 | 90 | 110 | 200 |
女 | 210 | 90 | 300 |
合计 | 300 | 200 | 500 |
(Ⅰ)据此样本,有多大的把握认为选择“有水的地方”与性别有关;
(Ⅱ)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市“五一”所有出游旅客情况,现从该市的全体出游旅客(人数众多)中随机抽取3人,设3人中选择“有水的地方”的人数为随机变量X,求随机变量X的数学期望和方差.
附临界值表及参考公式:
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,n=a+b+c+d.
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