Question

已知函数f（x）=

3

asinωx-acosωx
（a＞0，ω＞0）的图象上两相邻最高点与最低点的坐标分别为（

π

3

，2），（-

π

6

，-2）．
（Ⅰ）求a与ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且f（A）=2，求

b-2c

acos( π 3 +C)

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式把f（x）的解析式化为2asin（ωx-

π

6

），从而求出它的周期．
（Ⅱ）由f（A）=2，求得A=

π

3

=60⁰ ，再根据正弦定理把要求的式子化为

sinB-2sinC

sinAcos(60°+C)

，再利用两角和差的正弦、余弦公式进一步化为

3 2 cosC+ 1 2 sinC-2sinC

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

，
约分整理求得最后的结果．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

asinωx-acosωx=2asin（ωx-

π

6

），由已知知周期T=2[

π

3

-（-

π

6

）]=π=

2π

ω

，∴ω=2．
又最大值为2，故2a=2，∴a=1．…（6分）
（Ⅱ）由f（A）=2，即sin（2A-

π

6

）=1，∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，则2A-

π

6

=

π

2

，解得A=

π

3

=60⁰．
故  

b-2c

acos(60°+C)

=

sinB-2sinC

sinAcos(60°+C)

=

sin(120°-C)-2sinC

sin60°cos(60°+C)

=

3 2 cosC+ 1 2 sinC-2sinC

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

=

3 2 cosC- 3 2 sinC

1 2 ( 3 2 cosC- 3 2 sinC)

=2．（也可用B化简）…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式的应用，y=Asin（ωx+∅）的周期性，根据三角函数的值求角，属于中档题．