Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，设a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求a_n，b_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为B_n，比较$\frac{1}{2{B}_{1}}$+$\frac{2}{3{B}_{2}}$+…+$\frac{n}{（n+1）{B}_{n}}$与1的大小．

Answer 1

分析 （I）由于a_n是S_n与2的等差中项，可得2a_n=S_n+2，利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n与a_n-1的关系，再利用等比数列的通项公式即可得出．由于点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，可得b_n-b_n+1+2=0即：b_n+1-b_n=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用等差数列的前n项和公式可得B_n，再利用“放缩法”和“裂项求和”即可证明

解答 解：（Ⅰ）∵a_n是S_n与2的等差中项，∴2a_n=S_n+2 …①
当n=1时，a₁=2；
n≥2时，2a_n-1=S_n-1+2   …②；
∴由①-②得：a_n=2a_n-1
∴{a_n}是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an=2ⁿ．
又∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0即：b_n+1-b_n=2，
又b₁=1，∴{b_n}是一个以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B_n=$\frac{n（2n-1+1）}{2}={n}^{2}$．
∴$\frac{n}{（n+1）{n}^{2}}=\frac{1}{（n+1）n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{2{B}_{1}}$+$\frac{2}{3{B}_{2}}$+…+$\frac{n}{（n+1）{B}_{n}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查了“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式利用了“裂项求和”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．