Question

（2010•抚州模拟）定义在（0，+∞）上的函数f(x)=

xe-x2+ax，x∈(0，1) 2x-1，x∈[1，+∞)

，其中e=2.71828…是自然对数的底数，a∈R．
（1）若函数f（x）在点x=1处连续，求a的值；
（2）若函数f（x）为（0，1）上的单调函数，求实数a的取值范围，并判断此时函数f（x）在（0，+∞）上是否为单调函数．

Answer 1

分析：（1）由于f（1）=1，且

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(xe-x2+ax)=ea-1，又根据f（x）在点x=1处连续，即可求出a值．
（2）当x∈（0，1）时，f(x)=xe-x2+ax，利用 f′(x)=e-x2+ax＞0，

lim

x→0+

(-2x2+ax+1)=1＞0
从而得出f（x）在（0，1）上必为增函数，得出-2x²+ax+1＞0在（0，1）上恒成立，结合函数的连续性即可求得a的范围．再对a分类讨论研究函数的单调性即可得到f（x）在（0，+∞）上不是增函数的结论．

解答：解：（1）∵f（1）=1，
且

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(xe-x2+ax)=ea-1，
又已知f（x）在点x=1处连续，
∴

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1+

f(x)=1，
∴e^a-1=1，
∴a=1．（4分）
（2）当x∈（0，1）时，f(x)=xe-x2+ax．此时，

f′(x)=e-x2+ax+xe-x2+ax(-2x+a) =(-2x2+ax+1)e-x2+ax，

∵f′(x)=e-x2+ax＞0，

lim

x→0+

(-2x2+ax+1)=1＞0
∴f′（x）不可能在（0，1）上恒小于0，故f（x）在（0，1）上必为增函数，
∴-2x²+ax+1＞0在（0，1）上恒成立．
?a＞

2x2-1

x

=2x-

1

x

在（0，1）上恒成立．（8分）
设u(x)=2x-

1

x

，x∈(0，1)，
∵u（x）在（0，1）上是增函数，u（x）在（0，1]上的最大值为u（1）=1，
且u（x）在（0，1]上连续，
故有a≥1．（10分）
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞1时，

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(x-x2+ax)=e^a-1＞1=f（1），
故此时f（x）在（0，+∞）上不是增函数．（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系、函数的连续性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．