Question

2．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，并且S₁₀＞0，S₁₁＜0，关于数列{a_n}有下列命题：
（1）公差d＜0，首项a₁＞0；
（2）S₆最大；
（3）a₃＞0；
（4）a₆＞0
上述命题正确的是（1），（3）．

Answer 1

分析 由题意求得a₆＜0，a₅＞0，且a₅＞|a₆|．然后逐一判断四个选项得答案．

解答 解：在等差数列{a_n}中，由S₁₀＞0，S₁₁＜0，
得$\frac{10（{a}_{1}+{a}_{10}）}{2}=5（{a}_{5}+{a}_{6}）＞0$，$\frac{11（{a}_{1}+{a}_{11}）}{2}=11{a}_{6}＜0$，
∴a₆＜0，a₅＞0，且a₅＞|a₆|．
则数列{a_n}为递减数列，且a₁＞0，则（1）正确；
∵数列前5项为正，自第6项起为负，则S₅最大，（2）错误；
a₃＞0，（3）正确；a₆＜0，（4）错误．
故答案为：（1），（3）．

点评 本题考查等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，是中档题．