Question

11．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ展开式中x的次数最大为4．
（1）求这个二项式的n值；
（2）求这个展开式的一次项．

Answer 1

分析 （1）利用展开式的通项公式可得展开式中x的次数最大为$\frac{2n}{4}$=4，由此求得这个二项式的n值．
（2）令展开式中x的次数等于1，求得r的值，可得这个展开式的一次项．

解答 解：（1）（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•2^-r•${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
由于展开式中x的次数最大为$\frac{2n}{4}$=4，故这个二项式的n=8．
（2）在展开式的通项公式 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•2^-r•${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$=${C}_{8}^{r}$•2^-r•${x}^{4-\frac{3r}{4}}$ 中，
 令4-$\frac{3r}{4}$=1，可得r=4，故这个展开式的一次项为T₅=${C}_{8}^{4}$•2^-4•x=$\frac{35}{8}$x．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．