Question

2．已知sinα+sinβ=$\frac{1}{3}$，求y=sinα-cos²β+1的最值．

Answer 1

分析 利用已知条件，化简所求表达式只有一个角的三角函数的形式，通过三角函数以及二次函数的性质求解表达式的最值即可．

解答 （本题满分为12分）
解：∵sinα+sinβ=$\frac{1}{3}$，
∴sinα=$\frac{1}{3}$-sinβ代入y中，得：y=$\frac{1}{3}-$sinβ-（1-sin²β）+1=sin²β-sinβ+$\frac{1}{3}$=（sinβ-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{12}$，…（6分）
∵-1≤sinα≤1，
∴-$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{3}-$sinα≤$\frac{4}{3}$，
又sinβ=$\frac{1}{3}$-sinα，且-1≤sinβ≤1，-$\frac{2}{3}$≤sinβ≤1，…（10分）
∴y_min=$\frac{1}{12}$，y_max=$\frac{13}{9}$，…（12分）

点评 本题考查三角函数的最值的求法，涉及二次函数的性质的应用，考查计算能力，属于中档题．