Question

【题目】已知双曲线： .

（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且，求实数的值；

（2）过点作直线与双曲线交于不同的两点，若弦恰被点平分，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) m=±2 (2) 4x﹣y﹣2=0

【解析】试题分析：（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），根据弦长公式即可求出，

（Ⅱ）分别设M，N的坐标为（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，两式相减，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，化简整理可得MN的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程

试题解析：

解：（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2）

由，消y可得，x2﹣4mx+2（m2﹣1）=0，

∴x1+x2=4m，x1x2=2（m2﹣1），

∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=16m2﹣8（m2﹣1）=8（m2+1），

∴|AB|==4，解得m=±2，

（Ⅱ）分别设M，N的坐标为（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，

两式相减，可得（y3﹣y4）（y3+y4）=（x3﹣x4）（x3+x4），

由点P（1，2）为MN的中点，

可得x3+x4=2，y3+y4=4，

∴4（y3﹣y4）=×2（x3﹣x4），∴kMN==4 经检验

即直线l的方程为y﹣2=4（x﹣1），即为4x﹣y﹣2=0