Question

【题目】已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为 ，且过点（ ，1）． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l分别切椭圆C与圆M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为 ，则 ， a， ∴ ，
∵椭圆过点 ，∴ ，解得 a2=25，b2=9，
故椭圆C的方程为
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m，因为A既在椭圆上，又在直线AB上，
从而有 ，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0，
由于直线与椭圆相切，
故△=（50kmx）2﹣4（25k2+9）×25（m2﹣9）=0，从而可得：m2=9+25k2 ， ①，x1= ，②
由 ．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣R2=0，
由于直线与圆相切，得m2=R2（1+k2），③，x2= ，④
由②④得：x2﹣x1= ，由①③得：k2= ，
∴|AB|2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=（1+k2）（x2﹣x1）2
= =

即|AB|≤2，当且仅当R= 时取等号，所以|AB|的最大值为2
【解析】（Ⅰ）设出椭圆的方程，根据离心率及椭圆过点（ ，1）求出待定系数，即得椭圆的方程．（Ⅱ）用斜截式设出直线的方程，代入椭圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，化简|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．