Question

（立体几何）正三棱锥D-ABC的底面边长为4，侧棱的长为8，过A点做与侧棱DB、DC分别交于E、F，那么△AEF周长的最小值是

 

．

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：空间位置关系与距离

分析：根据给出的正三棱锥的侧棱长和底面边长知，两条侧棱的夹角为锐角，然后求出该锐角的三倍角的余弦值，使原图形中的△AEF的周长最小，就是求沿PA剪开再展开后A点与A′点的最短距离，即直线距离，运用余弦定理可求解．

解答： 解：沿三棱锥P-ABC的侧棱PA剪开后再展开，如图，

原图中△AEF的周长最小，也就是展开图中的AA′，
在△PAB中，因为PA=PB=8，AB=4，
设∠APB=α，则cosα=

PA2+PB2-AB2

2PA•PB

=

82+82-42

2×8×8

=

7

8

．
∠APA′=3α，
由cos3α=4cos³α-3cosα=4×（

7

8

）³-3×

7

8

=

7

128

．
在△APA′中，由余弦定理得：
AA^′2=PA²+PA^′2-2PA•PA′cos3α
=82+82-2×8×8×

7

128

=121．
所以，AA′=11．
所以，△AEF的周长最小值为11．
故答案为：11

点评：本题考查了棱锥的结构特征，考查了距离最短问题，该类问题通常比喻“蚂蚁爬行问题”，解答的方法是沿一定的棱或母线把多面体或旋转体剪开，然后再展开，求两点间的直线距离问题，是中档题．