Question

如图，设α∈（0，π），且α≠

π

2

，当∠xOy=α时，定义平面坐标系xOy为α-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：

e1

，

e2

分别为x轴，y轴正向相同的单位向量，若

OP

=x

e1

+y

e2

，则记为

OP

=（x，y），那么在以下的结论中，正确的序号有

 

．
①

a

=（m，n），则|

a

|=

m2+n2

；
②

a

=（m，n），

b

=（s，t），若

a

∥

b

，则mt-ns=0；
③

a

=（1，2），

b

（2，1），若

a

与

b

的夹角为

π

3

，则α=

2π

3

；
④

a

=（m，n），

b

=（s，t），若

a

⊥

b

，则ms+nt=0．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用,简易逻辑

分析：把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论进行验证，即可得出结论．

解答： 解：对于①，

a

=（m，n），则|

a

|=|m

e1

+n

e2

|=

m2+n2+2mncosα

，∵α≠

π

2

，∴①错误；
对于②，由

a

∥

b

得

b

=λ

a

，∴s=λm，t=λn，∴mt-ns=0，故②正确；
对于③，

a

=（1，2），

b

（2，1），

a

与

b

的夹角为

π

3

，根据夹角公式得4+5 

e1

•

e2

=（5+4 

e1

•

e2

）cos

π

3

，故 

e1

•

e2

=-

1

2

，即cosα=-

1

2

，则α=

2π

3

，③正确
对于④，∵

a

•

b

=（m

e1

+n

e2

）•（s

e1

+t

e2

）=ms+nt+（mt+ns）cosα≠ms+nt，∴④错误；
所以正确的是②、③．
故答案为：②③

点评：本题为新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题的关键，属基础题．