Question

【题目】已知函数．

（1）当=0时，求实数的m值及曲线在点（1， ）处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣1,y=﹣1（2）见解析

【解析】试题分析：（1）求出,由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；

求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论的取值范围，分别求得单调区间.

试题解析：（1）函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），

求导，

由f'（1）=0，解得m=﹣1

从而f（1）=﹣1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．　　

（2）由，

当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）

当m＜0时，由，得，或，

当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）；

当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间．

当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）

综上可知：当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；

当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）；

当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间；

当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）．