Question

15．对于所有实数x，不等式x²log₂$\frac{4（a+1）}{a}$+2xlog₂$\frac{2a}{a+1}$+log2$\frac{（a+1）^{2}}{4{a}^{2}}$＞0恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1]
• D． （-1，0）

Answer 1

分析 设$t={log_2}\frac{2a}{a+1}$，问题转化为“当t为何值时，不等式（3-t）x²+2tx-2t＞0恒成立”，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：因为${log_2}\frac{2a}{a+1}$的值随着参数a的变化而变化，若设$t={log_2}\frac{2a}{a+1}$，
则上述问题实质是“当t为何值时，不等式（3-t）x²+2tx-2t＞0恒成立”．
这是我们较为熟悉的二次函数问题，
等价于求解关于t的不等式组：$\left\{\begin{array}{l}3-t＞0\\△={（2t）^2}+8t（3-t）＜0\end{array}\right.$，
 解得t＜0，即有${log_2}\frac{2a}{a+1}＜0$，易得0＜a＜1．
故选：A．

点评 本题考查了二次函数的性质以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．