Question

4．若数列{a_n}是正项数列，且$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n（{n∈{N^*}}）$，则a_n=4（n+1）²．

Answer 1

分析 $\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n（{n∈{N^*}}）$，可得：n≥2时，$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+3（n-1）．相减可得$\sqrt{{a}_{n}}$=2n+2，可得a_n，当n=1时，$\sqrt{{a}_{1}}$=4，解得a₁，即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n（{n∈{N^*}}）$，
∴n≥2时，$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+3（n-1）．
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=2n+2，可得a_n=4（n+1）²．
当n=1时，$\sqrt{{a}_{1}}$=4，解得a₁=16，对于上式也成立．
∴a_n=4（n+1）²．
故答案为：4（n+1）²．

点评 本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．