Question

12．已知函数f（x）=sinx+sin（$\frac{π}{2}$-x）x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值；
（3）求函数的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）根据函数f（x）的解析式，利用正弦函数的最大值求得f（x）的最大值，并指出此时x的值．
（3）由条件利用正弦函数的增区间求得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=sinx+sin（$\frac{π}{2}$-x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的最小正周期为2π．
（2）由f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）可得它的最大值为$\sqrt{2}$，此时，x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
（3）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得$-\frac{3π}{4}+2kπ≤x≤\frac{π}{4}+2kπ$，
故函数的增区间为$[{2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}}]k∈Z$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性、最大值以及正弦函数的单调性，属于基础题．