Question

17．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$π
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$π
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π

Answer 1

分析 由三视图得到这是一个四棱锥，底面是正方形，一条侧棱与底面垂直，
根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC，
利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积．

解答 解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，
得到这是一个四棱锥，且四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱AE与底面垂直，
如图所示，根据四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC，
根据直角三角形的勾股定理知AC=$\sqrt{1+1+1}$=$\sqrt{3}$，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4π}{3}$•${（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{3}$=$\frac{\sqrt{3}π}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了三视图的应用问题，也考查了对三视图的理解和球内接多面体的应用问题，是基础题．