【题目】在平面直角坐标系中,已知点,抛物线的焦点为,设为抛物线上异于顶点的动点,直线交抛物线于另一点,连结,,并延长,分别交抛物线与点,.
(1)当轴时,求直线与轴的交点的坐标;
(2)设直线,的斜率分别为,,试探索是否为定值?若是,求出此定值;若不是,试说明理由.
【答案】(1)(4,0);(2)是定值,
【解析】
(1)由抛物线方程求出焦点坐标,得到直线MN的方程,代入抛物线方程求出M、N的坐标,由两点式求得直线ME的方程,和抛物线方程联立解得P点坐标,同理求得Q点坐标,则直线PQ的方程可求,直线PQ与x轴的交点坐标可求;
(2)分别设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),再设直线MN、MP、NQ的直线方程,分别和抛物线方程联立后由根与系数关系得到y3=2y2,x3=4x2,y4=2y1,x4=4x1.代入斜率公式整理得答案.
(1)抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0).
当MN⊥Ox时,直线MN的方程为 x=1.
将x=1代入抛物线方程y2=4x,得y=±2.
不妨设M(1,2),N(﹣1,2),
则直线ME的方程为y=﹣2x+4,
由,解得x=1或x=4,于是得P(4,﹣4).
同理得Q(4,4),所以直线PQ的方程为x=4.
故直线PQ与x轴的交点坐标(4,0);
(2)设直线MN的方程为x=my+1,
并设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4).
由,得y2﹣4my﹣4=0,
于是y1y2=﹣4 ①,从而②.
设直线MP的方程为x=my+2,
由,得y2﹣4my﹣8=0,
∴y1y3=﹣8 ③,x1x3=4 ④.
设直线NQ的方程为x=ty+2,
由,得y2﹣4ty﹣8=0,
于是y2y4=﹣8 ⑤,x2x4=4 ⑥.
由①②③④⑤⑥,得y3=2y2,x3=4x2,y4=2y1,
x4=4x1.,
即.
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【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点P的纵坐标为3,且|PF|=4,过M(m,0)作抛物线C的切线MA(斜率不为0),切点为A.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求证:以FA为直径的圆过点M.
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【题目】设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f()=1,当x>0时,f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判断函数的奇偶性;
(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.
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【题目】给定正整数,已知用克数都是正整数的块砝码和一台天平可以称出质量为克的所有物品.
(1)求的最小值;
(2)当且仅当取什么值时,上述块砝码的组成方式是惟一确定的?并证明你的结论.
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【题目】已知椭圆:经过点,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过坐标原点作直线交椭圆于、两点,过点作的平行线交椭圆于、两点.
①是否存在常数,满足?若存在,求出这个常数;若不存在,请说明理由;
②若的面积为, 的面积为,且,求的最大值.
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