【题目】如图,三棱柱中,底面
为正三角形,
底面
,且
,
是
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)在侧棱上是否存在一点
,使得三棱锥
的体积是
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】试题分析:(1)连接交
于点
,连
,由三角形中位线的性质得
,再根据线面平行的判定可得结论。(2)先证
平面
,再由面面垂直的判定定理可得平面
平面
。(3)假设存在点
满足题意,不妨设
,由
可得
,从而可得点
确实存在,且
。
试题解析:
(1)如图,连接交
于点
,连
。
由题意知,在三棱柱中,
平面
,
∴四边形为矩形,
∴点为
的中点.
∵ 为
的中点,
∴.
∵ 平面
,
平面
.
∴ 平面
.
(2)∵底面为正三角形,
是
的中点,
∴,
∵ 平面
,
平面
,
∴ .
∵ ,
∴ 平面
,
∵ 平面
,
∴平面平面
.
(3)假设在侧棱上存在一点
,使三棱锥
的体积是
.
设。
∵ ,
,
∴ ,
即,
解得,
即.
∵ ,
∴ 在侧棱上存在一点
,使得三棱锥
的体积是
,此时
.
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【题目】已知过抛物线的焦点
,斜率为
的直线交抛物线于
两点,且
.
(1)求该抛物线的方程;
(2)已知抛物线上一点,过点
作抛物线的两条弦
和
,且
,判断直线
是否过定点?并说明理由.
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【题目】某校高二年级进行了百科知识大赛,为了了解高二年级900名同学的比赛情况,现在甲、乙两个班级各随机抽取了10名同学的成绩,比赛成绩满分为100分,80分以上可获得二等奖,90分以上可以获得一等奖,已知抽取的两个班学生的成绩(单位:分)数据的茎叶图如图1所示:
(1)比较两组数据的分散程度(只需要给出结论),并求出甲组数据的频率分布直方图如图2中所示的值;
(2)现从两组数据中获奖的学生里分别随机抽取一人接受采访,求被抽中的甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.
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【题目】在如图所示的多面体中, 平面
,
平面
,
,且
,
是
的中点.
(Ⅰ)求证: .
(Ⅱ)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
(Ⅲ)在棱上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成的角是
.若存在,指出点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆过两点
,
,且圆心
在直线
上.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)直线过点
且与圆
有两个不同的交点
,
,若直线
的斜率
大于0,求
的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在直线使得弦
的垂直平分线过点
,若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线,直线
过抛物线焦点,且与抛物线交于
,
两点,以线段
为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为平行四边形,
,
是棱PD的中点,且
,
.
(I)求证: ; (Ⅱ)求二面角
的大小;
(Ⅲ)若是
上一点,且直线
与平面
成角的正弦值为
,求
的值.
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