【题目】如图,四棱锥中,底面
为平行四边形,
,
是棱PD的中点,且
,
.
(I)求证: ; (Ⅱ)求二面角
的大小;
(Ⅲ)若是
上一点,且直线
与平面
成角的正弦值为
,求
的值.
【答案】(I)见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)1.
【解析】试题分析:(1),
,所以
平面PAC;(2)建立空间直角坐标系,求出两个法向量,平面MAB的法向量
,
是平面ABC的一个法向量,求出二面角;(3)设
,平面MAB的法向量
,解得答案。
试题解析:
证明:(I)连结AC.因为为在中,
,
,
所以,所以
.
因为AB//CD,所以.
又因为地面ABCD,所以
.因为
,
所以
平面PAC.
(II)如图建立空间直角坐标系,则.
因为M是棱PD的中点,所以.
所以,
.
为平面MAB的法向量,
所以,即
,令
,则
,
所以平面MAB的法向量.因为
平面ABCD,
所以是平面ABC的一个法向量.
所以.因为二面角
为锐二面角,
所以二面角的大小为
.
(III)因为N是棱AB上一点,所以设,
.
设直线CN与平面MAB所成角为
,
因为平面MAB的法向量,
所以.
解得,即
,
,所以
.
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【题目】如图,三棱柱中,底面
为正三角形,
底面
,且
,
是
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)在侧棱上是否存在一点
,使得三棱锥
的体积是
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
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【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
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【题目】已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。
(I)求⊙H的方程;
(Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M,N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围
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【题目】如图,已知梯形与梯形
全等,
,
,
,
,
,
为
中点.
(Ⅰ)证明: 平面
(Ⅱ)点在线段
上(端点除外),且
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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【题目】某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动,他们的年龄在25岁至50岁之间。按年龄分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示,下表是年龄的频率分布表。
区间 | |||||
人数 | a | b |
(1)求正整数a,b,N的值;
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,则年龄在第1,2,3组中抽取的人数分别是多少?
(3)在(2)的条件下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求恰有1 人在第3组的概率。
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【题目】如图,在直角坐标系中,椭圆
的上焦点为
,椭圆
的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程.
(2)设过椭圆的上顶点
的直线
与椭圆
交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
,若
,且
,求直线
的方程.
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【题目】已知命题:若关于
的方程
无实数根,则
;命题
:若关于
的方程
有两个不相等的正实数根,则
.
(1)写出命题的否命题,并判断命题
的真假;
(2)判断命题“且
”的真假,并说明理由.
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