Question

【题目】如图，已知梯形与梯形全等， ， ， ， ， ， 为中点.

（Ⅰ）证明： 平面

（Ⅱ）点在线段上(端点除外),且与平面所成角的正弦值为,求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）：设为中点，连结,易得四边形是平行四边形，有，进而可证线面平行；

（Ⅱ）由， 得平面，以为坐标原点， ， ， 的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立空间直角坐标系.设点在上，且，求得平面的个法向量，设与平面所成角为，则，从而得解.

试题解析：

（Ⅰ）证明：方法一：设为中点，连结,因为为中点,

所以是的中位线， .

由已知，所以，因此四边形是平行四边形，

所以.

又平面， 平面，所以平面.

方法二：延长线段， ，交于点，连结，由，则是的中点，又是的中点，所以是的中位线，所以.

又平由， 平面，所以平面.

（Ⅱ）由梯形与梯形全等,

因为， ，

所以， .

中， ，

所以.因为,

故有,从而,

又因为， ,所以平面.

以为坐标原点， ， ， 的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立空间直角坐标系.设点在上，且， ， ,

， ，所以，

设是平面的个法向量，则

即取

，

故.

设与平面所成角为，

则，即.

解得， (舍去),故.