Question

12．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=2AB=2，且BC₁⊥A₁C．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）点D在边A₁C₁上且C₁D=$\frac{1}{3}$C₁A₁，证明在线段BB₁上存在点E，使DE∥平面ABC₁，并求此时$\frac{BE}{{B{B_1}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据线线垂直证明线面垂直，由线面垂直证明面面垂直即可；
（2）在△AA₁C₁中利用相似得DF∥AC₁，平行四边形AA₁B₁B中EF∥AB，
两组相交直线分别平行可得平面EFD∥平面ABC₁，则有ED∥平面ABC₁．

解答 解：（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有A₁A⊥平面ABC；
∴A₁A⊥AC，又A₁A=AC，∴A₁C⊥AC₁；
又BC₁⊥A₁C，∴A₁C⊥平面ABC₁，
则平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）当$\frac{BE}{{B{B_1}}}=\frac{1}{3}$时，DE∥平面ABC₁
在A₁A上取点F，使$\frac{AF}{{A{A_1}}}=\frac{1}{3}$，
连EF，FD，EF∥AB，DF∥AC₁，
即平面EFD∥平面ABC₁，则有ED∥平面ABC₁；

点评 本题考查了空间中的线线、线面和面面平行与垂直的应用问题，是综合性题目．