Question

2．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a₂=2，且a_n+2=3S_n-S_n+1+3，n∈N^*．
（1）证明：a_n+2=3a_n，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系式，结合a_n与S_n的关系得出结论；
（2）利用分类讨论思想写出数列通项，结合等比数列再进行分类求和．

解答 （1）证明：∵对任意的n∈N^*，有a_n+2=3S_n-S_n+1+3，①
∴对任意的n∈N^*，n≥2，有a_n+1=3S_n-1-S_n+3．②
①-②，得a_n+2-a_n+1=3a_n-a_n+1，即a_n+2=3a_n，n≥2．
又∵a₁=1，a₂=2，
∴a₃=3S₁-S₂+3=3a₁-（a₁+a₂）+3=3a₁．
∴对一切n∈N^*，a_n+2=3a_n．
∵a_n≠0，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=3，
∴数列{a_2n-1}是首项a₁=1，公比为3的等比数列；数列{a_2n}是首项a₂=2，公比为3的等比数列．
∴a_2n-1=3^n-1，a_2n=2×3^n-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n+1}{2}-1（n为奇数）}}\\{{2}^{\frac{n}{2}-1（n为偶数）}}\end{array}\right.$．
（2）解：由（1）知，a_2n-1=3^n-1，a_2n=2×3^n-1．
则S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=（1+3+…+3^n-1）+2×（1+3+…+3^n-1）=3×（1+3+…+3^n-1）=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$，
故S_2n-1=S_2n-a_2n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$-2×3^n-1=$\frac{3}{2}$×（5×3^n-2-1）．
综上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}（5×{3}^{\frac{n-2}{2}-1}），（n=2k+1，k∈{N}^{+}）}\\{\frac{3}{2}（{3}^{\frac{n}{2}-1}），（n=2k，k∈{N}^{+}）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查数列递推关系式、等比数列通项公式和求和公式，结合转化思想和分类讨论思想求解数列问题，意在考查考生对数列递推关系的理解和运算求解能力．