Question

7．设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n+1}^{2}+1）}{{a}_{a}^{2}+1}$（n≥1，n∈N^*），令b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}+\frac{1}{a_n}}}$．
（1）求证：数列{b_n}是常数列；
（2）求证：当n≥2时，2＜a_n²-a²_n-1≤3；
（3）求a₂₀₁₅的整数部分．

Answer 1

分析 （1）易知，对一切n≥1，a_n≠0，由a_n+2=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n+1}^{2}+1）}{{a}_{a}^{2}+1}$（n≥1，n∈N^*），可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}}$．
依次利用上述关系式，可得：b_n=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}}$=1，即可证明．
（2）由（1）得a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$．又a₁=1，可知数列{a_n}递增，则对一切n≥1，有a_n≥1成立，从而0＜$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$≤1．当n≥2时，${a}_{n}^{2}$=$（{a}_{n-1}+\frac{1}{{a}_{n-1}}）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2，即可证明．
（3）当n≥2时，${a}_{n}^{2}$=${a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+${a}_{1}^{2}$+2（n-1），${a}_{1}^{2}$=1，${a}_{2}^{2}$=4，通过放缩可得：63＜a₂₀₁₅＜64，可得a₂₀₁₅的整数部分．

解答 （1）证明：易知，对一切n≥1，a_n≠0，由a_n+2=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n+1}^{2}+1）}{{a}_{a}^{2}+1}$（n≥1，n∈N^*），
可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}+\frac{1}{{a}_{n+1}}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}+\frac{1}{{a}_{n}}}$．
依次利用上述关系式，可得：b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}+\frac{1}{a_n}}}$=…=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}+\frac{1}{{a}_{1}}}$=1，
从而数列数列{b_n}是常数列．
（2）证明：由（1）得a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$．
又a₁=1，∴可知数列{a_n}递增，则对一切n≥1，有a_n≥1成立，从而0＜$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$≤1．
当n≥2时，${a}_{n}^{2}$=$（{a}_{n-1}+\frac{1}{{a}_{n-1}}）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2，∴${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2，∴2＜a_n²-a²_n-1≤3．
（3）当n≥2时，${a}_{n}^{2}$=${a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+${a}_{1}^{2}$+2（n-1），${a}_{1}^{2}$=1，${a}_{2}^{2}$=4，
当n≥3时，${a}_{n}^{2}$=${a}_{n-1}^{2}+\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+2=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+…$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+2+2（n-1）=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+…$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+2n，
∴${a}_{2015}^{2}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}^{2}}$+…$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}$+4030＞4030＞63²，
又${a}_{2015}^{2}$=$\frac{1}{{a}_{2014}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$+2×（2015-1）+1=4029+$\frac{1}{{a}_{2014}^{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$=4030+$（\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+…+\frac{1}{2×2014}）$=4030+$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{39}）$+$\frac{1}{2}（\frac{1}{40}+\frac{1}{41}+…+\frac{1}{199}）$+$\frac{1}{2}（\frac{1}{200}+\frac{1}{201}+…+\frac{1}{2014}）$＜4030+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}×38$+$\frac{1}{40}×160$+$\frac{1}{200}×1815）$＜4096=64²，
∴63＜a₂₀₁₅＜64，因此a₂₀₁₅的整数部分．

点评 本题考查了数列的递推关系、数列的单调性、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．