Question

17．一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a-x）=2b恒成立，已知函数f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+m}}$的定义域为R，其图象关于$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$对称．
（1）求常数m的值；
（2）解关于x的方程：log₂[1-f（x）]•log₂[4^-xf（x）]=2．

Answer 1

分析 （1）根据函数关于点对称的关系式，解方程即可得到结论；（2）令log₂（4^x+2）t，则原方程可变为：t²-t-2=0，解得：t=-1或t=2，从而求出x的值即可．

解答 解；（1）∵函数f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+m}}$的图象关于点M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）对称，
∴f（x）+f（1-x）=1，
即当x=$\frac{1}{2}$时，f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=1，
即f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
则f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{4}^{\frac{1}{2}}}{{4}^{\frac{1}{2}}+m}$=$\frac{2}{2+m}$=$\frac{1}{2}$，解得m=2；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
∴log₂[1-f（x）]•log₂[4^-xf（x）]
=log₂$\frac{2}{{4}^{x}+2}$log₂$\frac{1}{{4}^{x}+2}$
=[log₂（4^x+2）-1]log₂（4^x+2），
令log₂（4^x+2）t，则原方程可变为：
t²-t-2=0，解得：t=-1或t=2，
当t=-1时，log₂（4^x+2）=-1，即4^x=-$\frac{3}{2}$，无解，
当t=2时，log₂（4^x+2）=2，即4^x=2，解得：x=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了对数的运算性质，考查换元思想，是一道中档题．