Question

8．抛物线的顶点在原点，焦点是圆x²+y²-4x=0的圆心．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线l的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l与抛物线、圆依次交于A，B，C，D，四个点，求|AB|+|CD|．

Answer 1

分析 （1）求得圆心坐标及半径，由$\frac{p}{2}=2$，即可求得p=4，即可求得抛物线的方程；
（2）法一，由由焦点弦的公式$|{AD}|=\frac{2p}{{{{sin}^2}θ}}$，由tanθ=2，sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，|AB|+|CD|=|AD|-2r；
法二，将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=6，|AB|+|CD|=|AD|-2r=x₁+x₂+p-2r，即可求得|AB|+|CD|．

解答 解：（1）圆（x-2）²+y²=4，圆心F（2，0），半径r=2，
∴$\frac{p}{2}=2$，即p=4，
∴抛物线的方程为y²=8x；
（2）法一：由焦点弦的公式$|{AD}|=\frac{2p}{{{{sin}^2}θ}}$，
则|AB|+|CD|=|AD|-2r=$\frac{8}{{{{sin}^2}θ}}-4=\frac{8}{{{{（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）}^2}}}-4=6$．
法二：A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），将直线方程y=2（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ y=2（x-2）\end{array}\right.$，
消y得x²-6x+4=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=6，
则|AB|+|CD|=|AD|-2r=x₁+x₂+p-2r=6+4-4=6
∴|AB|+|CD|=6．

点评 本题考查抛物线的标准方程及性质，考查圆的性质，直线与抛物线的位置关系，焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题．