Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.
（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（I）；（II）直线AB恒过定点。
（III）存在实数，使得。

试题分析：（I）设椭圆方程为。抛物线的焦点是，故，又，所以，
所以所求的椭圆方程为            3分
（II）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标。
则切线方程分别为，。
又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，
而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是，
显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点。  6分
（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得
，即
所以       ..8分
不妨设
，同理  10分
所以

即。
故存在实数，使得。           12分
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。对于存在性问题，往往先假设存在，利用已知条件加以探究，以明确计算的合理性。本题（III）通过假设，利用韦达定理进一步确定相等长度，求得了的值，达到证明目的。