Question

2．已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），x，y∈R}，有下列命题
①若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，则f（x）∈M；
②若f（x）=2x，则f（x）∈M；
③f（x）∈M，则y=f（x）的图象关于原点对称；
④f（x）∈M，则对于任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），总有$\frac{{f}_{\;}（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立；
其中所有正确命题的序号是②③．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 逐项判断即可．①分别讨论x，y的符号，代入条件等式一判断；②直接代入检验即可；③利用赋值法可得；④举反例即可判断．

解答 解：①若x=3，y=1，则f²（x）-f²（y）=1-1=0，f（x+y）f（x-y）=f（4）f（2）=1，不满足集合条件，故f（x）∉M，故①错误；
②由f（x）=2x得：f²（x）-f²（y）=4x²-4y²，f（x+y）f（x-y）=2（x+y）•2（x-y）=4x²-4y²，满足等式，故f（x）∈M，故②正确；
③由题意知，函数f（x）满足f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），令x=y=0得：f（0）=0；再令x=0得：-f²（y）=f（y）f（-y），即有f（y）[f（y）+f（-y）]=0，所以f（y）=0或f（-y）=-f（y），当f（y）=0时，函数图象关于原点对称，当f（-y）=-f（y）时，函数为奇函数，图象也关于原点对称，故③正确；④取f（x）=-x，因为f²（x）-f²（y）=x²-y²，f（x+y）f（x-y）=-（x+y）（y-x）=x²-y²，所以f（x）∈M，而f（x）=-x为减函数，故④错误．
综上可得：②③正确．
故答案为：②③．

点评 本题是一道创新题，解题关键在于正确理解集合M中元素所满足的关系，考查了分析问题和解决问题的能力．属于中档题．