Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°AB=6，BC=8，AA₁=8，则三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的表面积是________．

Answer 1

164π
分析：由于直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积．
解答：解：由于直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，
把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，
则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
所以外接球半径为=，
则三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的表面积是4πR²=164π．
故答案为：164π．
点评：在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我们通常有如下办法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R．