Question

12．设f（x）=e^x-e^-x，g（x）=e^x+e^-x（e=2.71828…）
（1）先判断函数f（x）的单调性，再解不等式f（x）＞f（-x+2）；
（2）设f（x）f（y）=3，g（x）g（y）=7．求$\frac{g（x-y）}{g（x+y）}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的性质进行判断求解．
（2）根据指数幂的运算法则进行化简即可．

解答 解：（1）∵y=e^x为增函数，y=e^-x为减函数，则f（x）=e^x-e^-x为增函数，
∴由f（x）＞f（-x+2）得x＞-x+2，
即2x＞2，解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞）；
（2）由f（x）f（y）=3，g（x）g（y）=7．
得（e^x-e^-x）（e^y-e^-y）=3，（e^x+e^-x）（e^y+e^-y）=7．
即e^x+y+e^-（x+y）-（e^x-y+e^y-x）=3，e^x+y+e^-（x+y）+（e^x-y+e^y-x）=7，
则e^x+y+e^-（x+y）=5，e^x-y+e^y-x=2，
即g（x+y）=e^x+y+e^-（x+y）=5，g（x-y）=e^x-y+e^y-x=2，
则$\frac{g（x-y）}{g（x+y）}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和应用以及指数幂的运算，比较基础．