Question

11．已知定义在R上的函数f（x）=|x-a²|+|x+4|的最小值为4a．
（1）求a的值；
（2）不等式|x-a|-|x+a|≤|b+1|对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得f（x）=|x-a²|+|x+4|的最小值，再根据它的最小值为4a，从而求得a的值．
（2）求得|x-a|-|x+a|的最大值为4，可得4≤|b+1|，由此求得b的范围．

解答 解：（1）由题意可得函数f（x）=|x-a²|+|x+4|≥|a²+4|，故它的最小值为|a²+4|，
再根据它的最小值为4a，可得|a²+4|=4a，即a²+4=4a，求得a=2．
（2）不等式|x-2|-|x+2|表示数轴上的x对应点到2对应点的距离减去它到-2对应点的距离，它的最大值为4，
不等式|x-a|-|x+a|≤|b+1|对任意的x∈R恒成立，可得4≤|b+1|，即b+1≥4，或b+1≤-4，
求得b≥3，或 b≤-5．

点评 本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，属于中档题．