Question

20．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（2）线段EA上是否存在点F，使CE∥平面FBD？若存在，求出$\frac{EF}{EA}$；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为$\overrightarrow{OD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{EC}$=（1，1，-1），利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；
（2）建立空间直角坐标系，利用平面向量数量积的运算即可求解．

解答 解：（1）因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB，
所以EO⊥平面ABCD，
因为OD?平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． …（5分）
因为△EAB为等腰直角三角形，
所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，
所以O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以 $\overrightarrow{EC}$=（1，1，-1），平面ABE的一个法向量为$\overrightarrow{OD}$=（0，1，0）． …（7分）
设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以 sinθ=|cos?$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{OD}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{OD}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（9分）
（2）存在点F，且 $\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$时，有EC∥平面FBD． …（10分）
证明：法一：由$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EA}=（-\frac{1}{3}，0，-\frac{1}{3}）$，F（-$\frac{1}{3}$，0，$\frac{2}{3}$），
所以$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{4}{3}$，0，-$\frac{2}{3}$）．
设平面FBD的法向量为 $\overrightarrow{v}$=（a，b，c），则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{v}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{v}•\overrightarrow{FB}=0}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=0}\\{\frac{4}{3}a-\frac{2}{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{v}$=（1，1，2）． …（12分）
因为 $\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{v}$=（1，1，-1）•（1，1，2）=0，且EC?平面FBD，
所以EC∥平面FBD．
即点F满足 $\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$时，有EC∥平面FBD．…（14分）
法二：假设存在点F，且EF=λEA，建立如图空间直角坐标系，
则F（0，y，z），$\overrightarrow{EF}$（0，y，z-1），$\overrightarrow{EA}$=（0，1，-1）
∴y=λ，z=1-λ，可得：F（0，λ，1-λ），B（0，-1，0），D（1，0，0），
∴$\overrightarrow{BF}$=（0，λ+1，1-λ），$\overrightarrow{BD}$=（1，1，0），
设平面BDF法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{（λ+1）{y}_{1}+（1-λ）{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}+{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
可得：$\overrightarrow{m}$=（$\frac{1-λ}{1+λ}$，$\frac{λ-1}{1+λ}$，1），$\overrightarrow{EC}$=（-1，1，1），
∴$\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{m}$=0，
即-$\frac{1-λ}{1+λ}$+$\frac{λ-1}{1+λ}$+1=0，可得：λ=$\frac{1}{3}$，
所以点F满足 $\frac{EF}{EA}=\frac{1}{3}$时，有EC∥平面FBD． …（14分）

点评 本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键．