Question

10．对于函数f（x）与g（x），若存在λ∈{x∈R|f（x）=0}，μ∈{x∈R|g（x）=0}，使得|λ-μ|≤1，则称函数f（x）与g（x）互为“零点密切函数”，现已知函数f（x）=e^x-2+x-3与g（x）=x²-ax-x+4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是[3，4]．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）=e^x-2+x-3的零点为x=2，再设g（x）=x²-ax-x+4的零点为β，则|2-β|≤1，从而得到g（x）=x²-ax-x+4必经过点A（0，4），最后利用数形结合法求解即可．

解答 解：函数f（x）=e^x-2+x-3的零点为x=2，
设函数g（x）=x²-ax-x+4的零点为β，
若函数f（x）=e^x-2+x-3与g（x）=x²-ax-x+4互为“零点密切函数”，
根据零点关联函数，则|2-β|≤1，∴1≤β≤3，如图，
由于g（x）=x²-ax-x+4必经过点A（0，4），
故要使其零点在区间[1，3]上，则$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=1-a-1+4≥0}\\{g（\frac{a+1}{2}）=（\frac{a+1}{2}）^{2}-a•\frac{a+1}{2}-\frac{a+1}{2}+4≤0}\end{array}\right.$，
解得3≤a≤4．
故答案为：[3，4]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．