Question

15．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R），则直线l过的定点及直线与圆相交得的最短弦长分别为（　　）

• A． （3，1），$4\sqrt{5}$
• B． （2，1），$4\sqrt{5}$
• C． （-3，1），$4\sqrt{3}$
• D． （2，-1），3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 （1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；
（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．

解答 解（1）：将直线化为直线束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．
联立方程x+y-4=0与2x+y-7=0，得点（3，1）；
将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）；
（2）当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，
斜率为2，代入方程得m=-$\frac{3}{4}$，此时直线l方程为2x-y-5=0，圆心到直线的距离为$\sqrt{5}$，
所以最短弦长为4$\sqrt{5}$；
故选：A．

点评 本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．