Question

10．已知函数f（x）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2a（x-$\frac{1}{x}$）+2a²，x∈[1，2]．
（1）若a=1，求函数f（x）的最大值；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）换元，再利用配方法，即可求函数f（x）的最大值；
（2）换元，再利用配方法，分类讨论，即可求函数f（x）的最小值．

解答 解：（1）设x-$\frac{1}{x}$=t（t∈[0，$\frac{3}{2}$]），则
a=1时，y=t²+2-2t+2=（t-1）²+3，
∵t∈[0，$\frac{3}{2}$]，∴t=0，即x=1时，函数f（x）的最大值为4；
（2）设x-$\frac{1}{x}$=t（t∈[0，$\frac{3}{2}$]），则y=t²+2-2at+2a²=（t-a）²+a²+2
a＜0，函数f（x）的最小值是2+2a²，
0≤a≤$\frac{3}{2}$，函数f（x）的最小值是a²+2
a＞$\frac{3}{2}$，函数f（x）的最小值是$\frac{17}{4}$-3a+2a²．

点评 本题考查函数的最值，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确配方是关键．