Question

15．已知x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，则log${\;}_{\frac{1}{3}}$（2x+y）的最大值是-1．

Answer 1

分析 设z=2x+y，要求log${\;}_{\frac{1}{3}}$（2x+y）的最大值，等价为求z=2x+y的最小值，利用线性规划进行求解即可．

解答 解：作出不等式对应的平面区域如图：
设z=2x+y，要求log${\;}_{\frac{1}{3}}$（2x+y）的最大值，等价为求z=2x+y的最小值，
由z=2x+y，得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-4y=-3}\end{array}\right.$的交点时，
直线y=-2x+z的截距最小，
由图可知，z_min=2×1+1=3．
此时log${\;}_{\frac{1}{3}}$（2x+y）的最大值为log${\;}_{\frac{1}{3}}$3=-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．