Question

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）令f（a+b）=f（a）f（b）式中a=b=0，根据f（0）≠0，可求出f（0）的值；
（2）令f（a+b）=f（a）f（b）中a=b=

x

2

，可证得f（x）≥0，因为f（0）≠0，从而证得结论．

解答：证明：（1）因为f（a+b）=f（a）f（b），
令式中a=b=0得：f（0）=f（0）f（0），因f（0）≠0，
所以等式两同时消去f（0），得：f（0）=1．
（2）令f（a+b）=f（a）f（b）中a=b=

x

2

，于是f（x）=f（0.5x）f（0.5x）=（f（0.5x））²≥0．
因为f（0）≠0，所以对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了特殊值法的应用，解题的关键是如何取值，属于中档题．