Question

17．己知f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-$\sqrt{3}$sin4x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[$\frac{π}{16}$，$\frac{3π}{16}$]上的最小值及取最小值时对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用查三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期．
（2）利用余弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[$\frac{π}{16}$，$\frac{3π}{16}$]上的最小值及取最小值时对应的x的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin⁴x+2cos⁴x+cos²2x-$\sqrt{3}$sin4x=2（sin²x+cos²x）²-4sin²x•cos²x+cos²2x-$\sqrt{3}$sin4x
=2-sin²2x+cos²2x-$\sqrt{3}$sin4x=2+cos4x-$\sqrt{3}$sin4x=2+2cos（4x+$\frac{π}{3}$），
故函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
（2）在区间[$\frac{π}{16}$，$\frac{3π}{16}$]上，4x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{7π}{12}$，$\frac{13π}{12}$]，故当4x+$\frac{π}{3}$=π时，函数f（x）取得最小值为2-2=0，
此时，x=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域、定义域和值域，属于中档题．