Question

10．已知正数a，b满足ab=2a+b．
（Ⅰ）求ab的最小值；
（Ⅱ）求a+2b的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件，通过a+b$≥2\sqrt{ab}$，化简求解ab的最小值；
（Ⅱ）利用$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，转化求解表达式的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）$ab=2a+b≥2\sqrt{2ab}$，所以$\sqrt{ab}≥2\sqrt{2}$，所以ab最小值为8，…（4分）
当b=2a，即a=2时取到．…（6分）
（Ⅱ）由题可得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，
所以$a+2b=（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）（a+2b）=5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}≥9$，即a+2b最小值为9，…（10分）
当a=b=3时取到．…（12分）

点评 本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．