Question

解关于x的不等式ax²+（1-a）x-1＞0．

Answer 1

分析：对a分类讨论，先判断其相应方程的解集的情况，再把二次项的系数变为大于0，进而可求出不等式的解集．

解答：解：（1）a=0时，原不等式可化为x-1＞0，即x＞1，此时原不等式的解集为{x|x＞1}；
（2）a≠0时，△=（1-a）²+4a=（1+a）²≥0，方程ax²+（1-a）x-1=0可化为（ax+1）（x-1）=0，∴x=1或x=-

1

a

．
①当a＞0时，∵1＞-

1

a

，∴原不等式可化为[x-(-

1

a

)](x-1)＞0，∴其的解集为{x|x＞1或x＜-

1

a

}；
②当-1＜a＜0时，∵-

1

a

＞1，且原不等式可化为[x-(-

1

a

)](x-1)＜0，∴其解集为{x|1＜x＜-

1

a

}；
③当a=-1时，∵1=-

1

a

，且原不等式可化为（x-1）²＜0，其解集为∅；
④当a＜-1时，∵1＞-

1

a

，且原不等式可化为[x-(-

1

a

)](x-1)＜0，∴其解集为{x|-

1

a

＜x＜1}．

点评：对a正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．