Question

5．已知△ABC是斜三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若csinA=$\sqrt{3}$acosC，c=$\sqrt{21}$且sinC+sin（B-A）=5sin2A，则△ABC的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由csinA=$\sqrt{3}$acosC，利用正弦定理可得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，于是sinC=$\sqrt{3}$cosC，即可得出C的值，由sinC+sin（B-A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：∵csinA=$\sqrt{3}$acosC，由正弦定理可得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，
得tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
又∵sinC+sin（B-A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），
∴sin（A+B）+sin（B-A）=5sin2A，
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，
∵△ABC为斜三角形，
∴cosA≠0，
∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，（1）
∵由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴21=a²+b²-2ab×$\frac{1}{2}$，（2）
由（1）（2）解得a=5，b=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×1×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了转化思想，推理能力与计算能力，属于中档题．