Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，公比q=f(λ)=

λ

1+λ

(λ≠-1，0)．
（1）证明：s_n=（1+λ）-λa_n；
（2）若数列{b_n}满足b1=

1

2

，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若λ=1，记cn=an(

1

bn

-1)，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证；当n≥2时，2≤T_n＜4．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的前n项和公式即可证明；
（2）利用已知b_n=f（b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，（n∈N^*，n≥2），可得

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1，再利用等差数列即可得出；
（3）利用（1）（2）可得c_n，再利用“错位相减法”即可得出T_n，再利用单调性即可证明．

解答：（ 1）证明：由等比数列的前n项和公式可得：Sn=

a1-anq

1-q

═

1-an• λ 1+λ

1- λ 1+λ

=1+λ-λa_n
  （2）解：∵b_n=f（b_n-1）=

bn-1

1+bn-1

，（n∈N^*，n≥2），
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1，
∴数列{

1

bn

}是以

1

b1

=2为首项，1为公差的等差数列，
∴

1

bn

=2+(n-1)×1=n+1，
∴bn=

1

n+1

．
  （3）证明：由（1）（2）可知：λ=1时，cn=n•(

1

2

)n-1．
∴T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，
∴

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，
T_n=4-

2+n

2n-1

，
∵f(n)=

2+n

2n-1

＞0，∴

f(n+1)

f(n)

=

3+n

4+2n

＜1，∴f（n）单调递减．
∴n≥2时，f（n）≤f（2）=2，
∴Tn≥4-2=2．
∵f（n）＞0，∴T_n＜4．
∴当n≥2时，2≤T_n＜4．

点评：熟练掌握等比数列的前n项和公式、等差数列的通项公式、“错位相减法”、函数的单调性等是解题的关键．