【题目】在平面直角坐标系中,已知双曲线
:
.
(1)设是
的左焦点,
是
右支上一点.若
,求
点的坐标;
(2)设斜率为1的直线交
于
、
两点,若
与圆
相切,求证:
;
(3)设椭圆:
.若
、
分别是
、
上的动点,且
,求证:
到直线
的距离是定值.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)利用,建立方程,即可求
点的坐标.
(2)设直线的方程为
,通过直线
与已知圆相切,得到
,通过求解
.证明
.
(3)当直线垂直
轴时,直接求出
到直线
的距离为
.当直线
不垂直
轴时,设直线
的方程为:
,(显然
),推出直线
的方程为
,求出
,
,设
到直线
的距离为
,通过
,求出
.推出
到直线
的距离是定值.
(1)左焦点.
设,则
,
由是右支上一点,知
,所以
,得
.
所以.
(2)证明:设直线的方程是
.因直线与已知圆相切,
故,即
.
由与双曲线
:
联立,得
,
设,
,则
,
,
又.
所以
.
故.
(3)当直线垂直于
轴时,
,
,则
到直线
的距离为
.
当直线不垂直于
轴时,
设直线的方程为
(显然
),则直线
的方程为
.
由与椭圆方程联立,得
,
,所以
.
同理.
设到直线
的距离为
,因为
,
所以,即
.
综上,到直线
的距离是定值.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,离心率为
,过
作直线
与椭圆
交于
,
两点,
的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)问:的内切圆面积是否有最大值?若有,试求出最大值;若没有,说明理由.
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【题目】某企业生产A产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值划分等级及产品售价如下表:
质量指标值m |
|
| |
产品等级 | 等品 | 二等品 | 三等品 |
售价(每件) | 160元 | 140元 | 120元 |
从该企业生产的A产品中抽取100件作为样本,检测其质量指标值,得到下图的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,求A产品质量指标值的中位数;
(2)用样本频率估计总体概率.现有一名顾客随机购买两件A产品,设其支付的费用为X元,求X的分布列及数学期望.
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【题目】图()是某品牌汽车
年月销量统计图,图(
)是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图,则下列说法错误的是( )
A.该品牌汽车年全年销量中,
月份月销量最多
B.该品牌汽车年上半年的销售淡季是
月份,下半年的销售淡季是
月份
C.年该品牌汽车所属公司
月份的汽车销量比
月份多
D.该品牌汽车年下半年月销量相对于上半年,波动性小,变化较平稳
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【题目】数列,定义
为数列
的一阶差分数列,其中
.
(1)若,试判断
是否是等差数列,并说明理由;
(2)若,
,求数列
的通项公式;
(3)对(2)中的数列,是否存在等差数列
,使得
对一切
都成立,若存在,求出数列
的通项公式;若不存在,请说明理由.
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【题目】若数列对任意的
,都有
,且
,则称数列
为“k级创新数列”.
(1)已知数列满足
且
,试判断数列
是否为“2级创新数列”,并说明理由;
(2)已知正数数列为“k级创新数列”且
,若
,求数列
的前n项积
;
(3)设,
是方程
的两个实根
,令
,在(2)的条件下,记数列
的通项
,求证:
.
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